Historicamente, o cálculo surgiu nas dificuldades que os matemáticos gregos encontravam na tentativa de expressar suas idéias sobre razões e proporções de segmentos de retas. Relatos históricos contam que, na época em que Euclides escrevia Os Elementos, os gregos possuíam todos os fundamentos para desenvolver o cálculo. Foram os gregos os primeiros a estudarem fenômenos ligados ao infinito e ao continuo.
Hoje, as aplicações do cálculo são inúmeras, tais como:
- problemas relacionados a navegação: estudo de métodos que determinavam o curso mais vantajoso para um navio com relação ao vento e a corrente.
- estudos hidrodinâmicos: movimento da água em rios e canais.
- construção naval: questões quando a estabilidade de corpos flutuantes bem como a forma como o navio deveria ser construído para diminuir a resistência ao se movimentar nas águas.
- óptica: efeitos da reflexão e refração em lentes e espelhos curvos.
A derivada e a integral vem a serem as duas noções básicas do Cálculo diferencial e integral. A primeira refere-se ao problema de traçar uma reta tangente a uma curva, enquanto que segunda está relacionada, entre outras interpretações possíveis, ao problema de calcular áreas de certas figuras.
Historicamente, a integral surgiu com problemas ligados a quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional em que a fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira consiste em pelo menos uma curva.
O primeiro matemático a executar as primeiras quadraturas foi Hipocrates de Chios (cerca de 440 a.C.) quando calculou a área de certas lunas (regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente). Alguns anos depois, Antiphon (430 a.c) afirmou que poderia calcular a área de um circulo através da sua quadratura fazendo o uso de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois em octógono, a seguir um hexágono e assim sucessivamente. O problema de Antiphon esbarrou na idéia de que para encontrar a área exata do circulo ele necessitaria de infinitos polígonos, ou seja, nunca terminaria.
Apesar de não obter sucesso na sua idéia, antiphon deu inicio a uma grande idéia que hoje é chamado de método de exaustão (Eudoxo 406-355 a.C.)
O método da exaustão consiste em determinar a área de uma figura exaurindo-a com outras figuras que tenham áreas conhecidas, como por exemplo, quadrado e triângulo. O caso mais famoso é o problema da quadratura do circulo, isto é, obter um quadrado que tenha mesma área de um circulo de raio r.
Arquimedes (287-212 a.C), por sua vez, faz o uso desse método para determinar a quadratura da parábola utilizando um grande numero de triângulos.
No ano de 1854, um matemático alemão chamado Bernhard Riemann (1826-1866), baseando-se nos estudos de Cauchy, realizou um estudo mais aprofundado sobre a integral. Generalizando a definição de Cauchy da integral para funções arbitrárias no intervalo [a,b], e o limite das somas de Riemann é a formulação no texto. Imediatamente, Riemann perguntou, "em que casos uma função é integrável?" A maior parte do desenvolvimento da teoria de integração foi subseqüentemente verificada por Riemann e outros, mas ainda havia dificuldades com integrais de séries infinitas que não foram trabalhadas até o início do século 20.
Newton seguiu James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o extremo direito podia variar. Este truque o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. O último trabalho de Newton sobre cálculo, e também o primeiro a ser publicado, foi seu ensaio, "On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693 e publicado como um apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montou uma tabela extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.
Para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz (1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse, "represento a área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas". Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latim differentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desde então. Ele considerava as contas de cálculo como o meio de abreviar de algum modo o clássico método grego de exaustão. Leibniz era ambivalente sobre infinitesimais, mas acreditava que contas formais de cálculo poderiam ser confiáveis porque levavam a resultados corretos.
O termo integral, usado em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667-1748). Principalmente como uma conseqüência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como derivadas "inversas". A área era uma noção intuitiva, quadraturas que não podiam ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo eram aproximadas. Embora Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a idéia de limite, ninguém nos séculos 18 e 19 teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. Em vez disso, com grande engenhosidade, muitas fórmulas de integração inteligentes foram desenvolvidas. Aproximadamente ao mesmo tempo em que a tabela de integrais de Newton tinha sido publicada, Johann Bernoulli desenvolveu procedimentos matemáticos para a integração de todas as funções racionais, o qual chamamos agora de método das frações parciais.
