Cauchy afirmava ser necessário demonstrar com generalidade a existência das integrais ou funções primitivas antes de tornar conhecidas suas diversas propriedades. Para alcançar este objetivo, foi necessário estabelecer no começo a noção de integrais tomadas entre limites dados ou integrais definidas.
Cauchy definiu a integral de qualquer função contínua no intervalo [a,b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funções contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema do Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos teóricos sutis mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e prosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas. Niels Henrik Abel (1802--1829) também apontou certos erros delicados ao usar a integral de Cauchy para integrar todo termo de uma série infinita de funções.
Cauchy definiu a integral de qualquer função contínua no intervalo [a,b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funções contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema do Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos teóricos sutis mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e prosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas. Niels Henrik Abel (1802--1829) também apontou certos erros delicados ao usar a integral de Cauchy para integrar todo termo de uma série infinita de funções.
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